為什麼公車一次來三班？常見的都市之謎數學邏輯可解答

為什麼公車一來就是三班，而且總是看到公車朝反方向離去？

等公車、做美食、洗熱水澡、切蛋糕、超市結帳……81個有趣又好玩的謎題，漫遊驚奇不斷的數學世界！（編按）

文／羅勃．伊斯威（Rob Eastaway）、傑瑞米．溫德漢（Jeremy Wyndham）

◎錯過公車有可能是好事

所有人都知道，每次想搭公車時都要等上天長地久，接著一來就是三班。這是常見的都市之謎，而且至少頻繁得可以用來當作書名。不過，數學家也確實會認為是個謎團。因為通常公車並不是一來就三班，而是兩兩出現。

不過，眼前就暫時假定，公車的確一來就是三班。如果這是事實的話，那麼通勤乘客的惡夢根本就不是惡夢。

或許你每次有重要約會的時候也都很倒楣，老是要錯過公車。或許你會想像，錯過公車絕對不會是好事。不過，倘若公車都是成三出現，那麼恰好錯過一班公車，或許你還可以預期會更快抵達目的地。

怎麼會這樣呢？錯過公車怎麼可能反而是好事？

我們鑽研公車現象之前，要先設計一種所謂的數學模式，也就是用虛構數字來簡化真實情況。只要假定合理，就能用模式來驗證構想，看出事情的脈絡。

假定公車總站每15分鐘發一班車。結果等到公車抵達你的候車亭，卻全都是三班集結為一群。為方便討論，就假設一群內各班公車的間隔都只有1分鐘。

既然這三班公車都是在某個45分鐘時段內由總站出發，那麼圖示兩群公車的間隔時段就必然是43分鐘。

集結之前：15分鐘―15分鐘―15分鐘

集結之後：1分鐘―1分鐘―43分鐘

現在假定你剛好看到一班公車離開你的候車亭。你並不知道那班車是一群公車中的哪一班。有可能是第一班，也可能是中間或最後一班，機會均等。倘若那是第一或第二班，那麼你只需要等1分鐘，就可以等到下一班。然而，倘若那是第三班，那麼你就要等43分鐘。

這就表示，你等到下一班車的平均時段長度為：

（1分鐘＋1分鐘＋43分鐘）/3＝15分鐘

不過，倘若當你來到候車亭之時，並沒有看到公車呢？換句話說，倘若你並不是恰好錯過公車，那又會如何呢？這就表示，你是在公車兩種間隔之一的時段間抵達。或許你剛好逮到1分鐘間隔時段。不過，你也有43/45的機會是碰上較長間隔。而且你抵達的時間，還可能是位於長間隔時段之間的任何時刻。你或許要從43分鐘的起點開始等起，也或許是從終點開始，那麼下班公車就要到站。因此，這時你的平均候車時間就是（43＋0）/2＝21.5分鐘。若是你抵達候車亭之時，並沒有看到公車離站，而且我們還把你在1分鐘間隔時段抵達的微小機會也納入，並略做調整，那麼你等車的時間還是要更長，超過看到公車離站的狀況。若你沒有看到公車離站，平均就要多等5分多鐘。

那就是為什麼，恰好錯過公車有可能會讓你更快完成整段旅程。

【知識補給站】公車真的一來就是三班嗎？

車班集結成群絕對不是公車公司無能所造成的。這種集結現象純粹是生活中的現實。就算總站每15分鐘準時發車，乘客來到候車亭的時間卻不是那麼精確。絕大多數乘客都是隨機抵達。很可能在公車路線某點上，會突然有大批乘客抵達，當然搭車上下時也要刷卡投幣。這種行為會讓公車慢下來，也因此到了下一站時，就會需要搭載更多旅客。

這樣一來，下一班公車就會愈來愈接近前一班。況且，由於在兩班車的間隔期間抵達的乘客人數也要減少，於是第二班公車要搭載的乘客還要更少。因此第二班公車還會行進得更快。這時兩班公車就會陷入一種惡性循環，所以第二班車就幾乎肯定會趕上第一班，結果這兩班車就會雙雙完成旅程。這就是為什麼公車常會兩兩成群。

公車行進的路線愈長，就愈可能和另一班車集結成群。果真有三班公車聚集並列，也比較可能是在接近漫長行程的終點時出現。這種現象也比較常見於班車相距很近的狀況，換句話說，就是車班較為密集的公車路線。這還真是諷刺，「最好」的公車路線卻變成最會集結成群，也最容易引來罵名的路線。

然而，這種怪異的結果有個先決條件，那就是公車確實會每三班集結。不過，下面的「知識補給站」可以證明，公車比較可能兩兩聚集，卻較少成三集結。倘若公車是兩兩集結，那麼結果是就算你恰好錯過公車，也不會影響候車時間長度。

倘若公車完全不集結成群，這時若乘客錯過公車，情況就最糟糕了。這時錯過公車絕對就要等15分鐘，而這時若是沒有看到公車，就表示平均要候車7.5分鐘。不過，倘若你看到公車離開，至少你就知道今天他們還在營運……

◎為什麼總是看到公車朝反方向離去？

另外有個問題和公車集結有關，這種現象很怪，實際上也可能發生。假定你的候車亭很接近公車路線終點。公車到終點就要掉頭向起點開回去。你也注意到，不管你在任何時間前往候車，幾乎每次都會先看到你的公車朝反方向離去，隨後才會看到你要搭的方向。這感覺上就像是串通好的，你是否應該寫信去抱怨？

我們先替你的公車路線擬定幾個時間。你的候車亭距離路線終點只有1分鐘，而且公車繞完整條路線要花15分鐘。這就表示，你的公車每15分鐘就來一班。你抵達時，公車有可能在較長路線行進，也就是你在那13分鐘間隔期間來到候車亭，不然你也可能是在公車開抵終點並掉頭回駛的那2分鐘間隔期間抵達。

只要你是隨機抵達，那麼你就比較可能在較長間隔期間抵達，機率是13比2，因此你看到的第一班公車，就會在道路另一側行駛，並正要前往終點站。事實上，只要是每隔15分鐘發一班車，不管有多少輛公車在你的路線上行駛都沒有關係。因此，儘管你會覺得，在道路另一側行駛的公車班次比你這側的多，事實上卻不是如此。

●本文摘自臉譜出版之《為什麼公車一次來三班？：從自然的奧妙原理到日常的不思議定律，探索生活中隱藏的81個數學謎題》。