畢達哥拉斯的思考課：連文科生都大嘆相見恨晚的數學思維書！

文／李光淵

將世界看作問題的視線──旅行推銷員問題

人們大多認為「數學」是為了解決問題的工具。但與其說「為了解決問題」，數學更像是「為了找出問題的工具」；數學家不是「解決問題的人」，而是「製造問題的人」，因此也有人戲稱數學家是「問題兒童」。

儘管如此，數學家並不是什麼問題都製造。人活在世上，不得不面對現實中難以解決的問題。為了解決這類問題，數學家將生活遇到的問題轉換成數學，再將變換後的數學問題套回現實並予以克服。所以說，數學家是「解決問題的人」。然而，煩惱著尚未出現在這世上的各種情形和問題，並設法找出解答的「製造問題的人」也是數學家。而這類「被製造的問題」儘管多半是經由理論並設定條件所提出的，確實也有不少解決了短則十年、長則幾百年後出現的困難。舉例來說，出現在13世紀前半的「費波納契數列」（費氏數列），不僅在大約700年後的某一天解說了自然現象，更被活用在電子通訊等尖端科技上。再舉一個更貼近生活的例子；

雖然現在幾乎銷聲匿跡，但過去曾有過直接登府拜訪消費者並販賣各種商品的推銷員。假設某化妝品推銷員要從公司前往消費者的家中拜訪並販賣商品，然後再回公司結算業績。

此時，因為推銷員要在不重複的前提下拜訪多戶人家，並不漏掉任何一戶地返回公司，所以必須找出既能拜訪所有消費者住處、交通花費又最少的最佳路線。若將數學應用於此，就能找出推銷員在訪問每個地點一次後，回到原起點、費用最少的移動順序。

上圖中，以線條表示連接公司和三處消費者住家的道路，並假設線上所標示的數字為兩地點間的交通費。那麼推銷員從公司出發後，第一個能去的地點有三處；第二個能去的地點有兩處，最後要去的住家只有一處；因此，推銷員從公司出發，拜訪完三戶人家後回公司的方法數共有3×2×1=3!=6種，再從6種方法中選出交通費最低的，就是最有利的移動法。推銷員實際可走的6種情況和其對應費用（距離）如下：

①公司→住家1→住家2→住家3→公司=100+200+200+400=900

②公司→住家1→住家3→住家2→公司=100+300+200+200=800

③公司→住家2→住家1→住家3→公司=200+200+300+400=1,100

④公司→住家2→住家3→住家1→公司=200+200+300+100=800

⑤公司→住家3→住家1→住家2→公司=400+300+200+200=1,100

⑥公司→住家3→住家2→住家1→公司=400+200+200+100=900

各位若是推銷員的話，會選擇上方6條路徑中的哪一條呢？想必會選費用最少的②或④吧。

推銷員只需訪問三處住家的話，或許還能一一計算，但若是要訪問的住家變多的話，能走的路線數便會隨之增加。舉例來說，若有4家，可能的路線數就會是 4!=4×3×2×1=24種；若有5家則是5!=120種；那麼要是有10家，將要拜訪的路線數就足足有10!=3,628,800種。光是10家，要在一天內全數拜訪完畢，想一一用手計算、找出最有利的路徑簡直是天方夜譚。這個時候，就需要數學了。

我們可以把上述的例子稱為「旅行推銷員問題」，若以數學的圖論表示的話，會是：

．在各邊標有權重（weight）的完整圖形中，找出最小值的漢米爾頓迴路（Hamiltonian Circuit）。

在今日，旅行推銷員問題可活用在快遞送貨員要出發送貨前確認目的地，或是跑外勤的職員一早計畫移動路線。多數快遞員並不會根據送貨量用數學方式計算路線，但會在腦中想好一天內要以什麼路線送貨，再根據自己的想法一處一處去跑。雖然沒經過精算，所選的路線也不是最短最省時，但實際上仍在無意間使用了數學。

旅行推銷員問題比我們所想的更常被運用在日常生活中。例如，各位需要從家裡出發，再拜訪多處後返家時，就能套用旅行推銷員問題，以最快、最短路徑完成拜訪，然後返家休息。

若想搭乘公車旅行全國，也能利用這套方法將時間和費用壓至最低；另外，它也能被活用在地鐵、市公車路線、城市的瓦斯管線和水管等的規畫配置上。

若是把旅行推銷員的演算法套入使用黃金等稀有金屬的各種電子電路上，則能減少線路長度、用最少的貴金屬，進而節省材料費。

像這樣將日常的問題「用數學解決的想法」就是「數學思維」。數學即是將這類現實問題轉換為數學問題，再透過找出該數學問題的解決方法，使原本給定的現實問題能獲得解決；數學能提出要解決現實困難所需的最佳問題並加以解決。像這樣的所有過程都是數學思維，而擅長數學思維的人也就擅長數學。

不少人稱數學是和現實生活八竿子打不著的學問，更針對數學說：「只要會算錢就好，幹嘛要學那麼難的東西？」但實際上數學和我們的生活密不可分，而且從古至今累積的眾多數學理論和公式，確確實實一點一滴地改變我們的生活。市區商圈分析、能源效率優化、電子交易個資對策、股價和匯率、油價預測及人工智慧和大數據等，活用範圍無限廣。

畢達哥拉斯也主張「萬物皆數也」，對他來說，數學是必須學習的領域。他在培育弟子時也運用數學進行教學。畢達哥拉斯相信，「數能領悟永遠不朽的型態，並擁有領導靈魂的力量」。

越來越多公司開始擴大活用數學，不論是金融、能源或製造業，各個領域的公司都在找數學家。特別是進入第四次工業革命時代，在與AI機器人競爭下，人類能比它們做得更好的領域正是數學，也因為這樣才有不少學者宣稱「未來是數學戰爭的時代」。

要如何才能像數學家一樣思考並擅長數學呢？讓我們一同前往數學的世界探險吧！

●本文摘自如何／圓神出版之《畢達哥拉斯的思考課：從通勤到愛情，用數學家的思維解決問題》。