計算良緣、戳破詐騙,數學在生活中的神奇運用!

(圖/unsplash)
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你知道嗎?利用數字1就能看破騙術,而且1%也能變成50%,還有堅守「37%原則」就可以覓得佳偶!另外,你有沒有想過,為什麼一星期有七天?為什麼球員變強了,比賽卻輸了?八卦新聞為什麼散佈那麼快?為什麼頭彩得主很少獨贏?如何計算一個都市的平均車速?計乘車司機怎樣讓收入提到最高?

在我們的生活裡,隨處都是有趣的謎題。《一條線有多長?》作者透過在生活中解答數學謎題,不但趣味橫生、驚奇不斷,更能培養最佳數感!

文/羅勃‧伊斯威(Rob Eastaway)、傑瑞米‧溫德漢(Jeremy Wyndham)

▌如何戳破email詐騙手法?

喬治習慣在早上刪除垃圾電子郵件。今早他注意到一則內容,郵件主旨說明:足總盃驚人預測結果。他感到好奇,於是點選閱讀詳細內容。他看到以下信息:

親愛的足球迷:

我們知道你一定會心存質疑,不過我們成功設計出神準的方法,能夠預測足球賽結果。今天下午,足總盃第三輪由科芬特里市隊對抗雪菲爾德聯隊,我們的系統預測科芬特里市隊獲勝,我們建議你先不要據此下注,不過或許你會有興趣在今天下午注意賽果。

頌此

足總盃神算堂

如何戳破email詐騙手法?(圖片來源:《一條線有多長?》臉譜出版)

喬治淡然一笑,並沒有細想,到了下午,他照例轉台看比賽結果,科芬特里市隊獲勝。他想,「反正他們勝算原本就比較高。」

三週之後,他又收到一封信。

親愛的足球迷:

記不記得我們正確預測足總盃上一輪是科芬特里市隊獲勝?今天,科芬特里市隊要對抗密得堡隊。我們預測密得堡隊會晉級到第五輪。我們强烈建議你不要下注,不過,請密切注意賽果,看我們的預測是否正確。

頌此

足總盃神算堂

喬治有點好奇,並等待當天下午的結果,不過也只是稍微多加關注。結果是一比一平手,看吧,上回只是僥倖。

不過,下週二的重賽結果,密得堡隊以二比零獲勝幾天之後,足總神算堂又寄發電子郵件,這次是預測第五輪異軍突起,燦美爾流浪者隊會擊敗密得堡隊,結果正如此。這時便進入複賽,預測燦美爾會敗給托特汗姆隊,又對了,結果是猜四中四。

下一封信來了:「我們知道這是一套傑出系統,而且現在你大概也比較相信,我們確實有兩把刷子,兵工廠隊會在準決賽時擊敗伊普斯威奇隊。」喬治實在不敢相信。他已經告訴許多朋友,於是在當天下午,他們一起密切注意實況報導,盡管兵工廠隊一路落後,最後卻以二比一獲勝,這太驚人了。

隔天又寄來一封電子郵件:

親愛的足球迷:

你已經目睹我們的足球神算驚人系統,你信服了嗎?我們預測五次中了五次,你一定同意,這已經違反常態機率,特別是獲勝隊伍不見得都是勝算較高的。我們提供特別優待,你有機會試用我們的比賽預測服務,訂閱一個月只收兩百鎊。你把兩支隊伍名稱寄给我們,我們就把預測结果寄給你,期望能收到你的訂單。

頌此

足總盃神算堂

「兩百鎊有點貴!」喬治尋思,「不過,倘若知道誰會贏,我就能夠從博彩業者身上把那筆錢賺回來,而且還多贏一千倍。」然後,他就這樣完全信服,並且掏出他的信用卡。

不過,其中到底哪裡有詐?這和嬰兒預言神棍不同,我們已經看到五次正確預測,當然這裡確實有點門道。且讓我們看看其他顧客從足總盃神算堂收到哪些電子郵件,這樣就能看出哪裡有詐。

就在騙局開始的第一天上午,吉姆在附近辦公室裡,也和喬治同樣收到一封電子郵件。當然喬治的電子郵件是說明「我們預測科芬特里市隊會擊敗雪菲爾德聯隊」,不過說來奇怪,吉姆的信則是「我們預測雪菲爾德聯隊會擊敗科芬特里市隊」,後來雪菲爾德聯隊敗北,從此吉姆就不再收到其他電子郵件。另外在十五公里之外,黛比收到的第一和第二封信預測,都是科芬特里市隊會獲勝,後來他們在第四輪戰敗,此後她也不再收到電子郵件了。

事實上,這套騙術簡單得令人不敢置信。最初是寄出八千封信,對象則是已知對足球有些興趣的人士。隨機選出一場比賽,告訴半數收件人科芬特里市隊會贏,另外半數則是雪菲爾德聯隊獲勝。當然,其中四千人會收到「正確」結果,另外半數則會刪除郵件,並從此忘了這回事。

下一回合有兩千人收到科芬特里市隊獲勝,另外兩千人則為密得堡隊。發展至此,肯定會有兩千人收到猜二中二的預測結果。當然了,足總盃神算堂只會向獲勝者繼續寄發電子郵件,這樣一來,到了決賽時,就會有兩百五十位收到五次正預測結果,於是那兩百五十位人士就會覺得非常特殊。(換做是你,你也會吧?)特殊得讓其中五十人交出兩百鎊,因此經營騙局的人便獲得豐厚利潤,其實他們除了發送電子郵件之外,根本什麼事情都沒有做。

這類騙術都是在利用我們的一種自然傾向。我們都自認與眾不同,因此當運氣來了,其中必然事出有因。收到預測郵件的人士當中,保證每三十二位中只有一位會收到五連中的結果。另外三十一位會收到一次錯誤預測,於是信息就此中斷。這次恰好就是喬治運氣好,也因此他當然會自覺與眾不同,不過請記住,這和樂透一樣,當然也會有人中頭彩。

這個足球情節和嬰兒騙局同樣是虛構的,不過類似這種違法騙術層出不窮。你可以想像,這類情節在股票市場偽科學界還特別有效,狡滑的顧問或許會向半數潛在顧客推薦,說是某支股票會上漲,卻向另外半數提出忠告,說是會下跌。

▌堅守「37%原則」可以覓得佳偶?

什麼時候該堅持你所擁有?要檢視這個非常實際的問題,我們可以借助個案研究,並略微虚擬情節來簡化分析。本例中的吉姆是個理想對象,他三十九歲,決心在四十歲時訂婚。吉姆加入交友俱樂部,這樣他和可能對象的相逢過程,就可以部分排除機運成分。交友俱樂部保證每年替他安排十次約會,而我們也要在這裡加入一種相當不可能的狀況,那就是吉姆的約會對象全都急於成婚,只要他開口求婚就成。因此,他肯定將來那十位約會對象當中,有一位會成為他的太太,不過會是哪位呢?

堅守「37%原則」可以覓得佳偶?(圖片來源:《一條線有多長?》臉譜出版)

把可能配偶依等第排列似乎有點無情,不幸卻有必要這樣做,才能進一步分析。(這裡也必須說明,男女都不反對就潛在伴侶做評比。)十位約會對象之一會成為最佳伴侶人選,也另有一位會是最差的選擇。不過,吉姆和她們見面的順序,卻是完全隨機。

吉姆和第一位對象約會,她看來也不錯。不過,她是最好的那位嗎?或許她是,不過,考慮到吉姆往後還會與其他對象約會,她成為最佳人選的機率只為十中取一。因此,合理的決策似乎就是先不要對她做出承諾,而是把她當作基準,並拿和後續約會對象做比較(這裡就不對吉姆的道德品行做任何評價)。

如果吉姆真的猶豫不定,他也可以依舊拒絕對接下來幾位做出承諾。一直到第十位約會對象現身,若吉姆還是要堅定原則如期訂婚,那時就沒有選擇餘地只好選擇第十位。因此他若不做決定,採取不表態策略,那麼他選中最佳人選的機會,還是只有十中取一。不過,肯定會有較佳策略。

的確是有!如果他要提高機會,有種做法就是先拒絕第一位約會對象――假定那凱瑟。不過,往後一碰到分數超過凱瑟的約會對象就點頭接受。只要採取這項對策,他在十次中有九次,能夠找到比凱瑟更好的配偶。但是,如果凱瑟恰好就是最佳對象,這項對策就不靈了。如果吉姆選定最先贏過凱瑟的約會對象,最後他選中最佳可能伴侶的機會,就會提高到百分之二十,或等於五中取一。這個比率的計算過程相當複雜,因為這必須把最佳人選出現的順序落於第二位,或第三位(第二位得分低於凱瑟),或第四位(第二和第三位得分都低於凱瑟)等等的機率累加起來,並一直加到第十位。如果吉姆除了凱瑟之外,還納入其他人選作為基準呢?他堅持時間愈長,就愈能通盤了解所有的可能對象。不過,這樣他把最佳伴侶排斥在外的機率就愈高。

書名:《一條線有多長?:生活中意想不到的116個數學謎題》
作者:羅勃.伊斯威Rob Eastaway、傑瑞米.溫德漢Jeremy Wyndham
出版社:臉譜出版/城邦文化
出版時間:2022年09月27日

事實上,吉姆面對上述情況時,便可以用數學來找出最佳答案。那就是先和三位人選約會,隨後一出現得分超過前述三位的人選就向她求婚。這樣一來,最後吉姆所擇定人選會是最佳伴侶的機會,就會提高到約為三中取一。你可以按照次頁的「知識補給站」所述,進行盲目約會的紙牌遊戲,模擬吉姆的經驗。儘管這種練習過度簡化,不盡然符合生活實情,至少還是個能夠描述許多人做法的好例子。他們會先約見幾位夥伴,來增長閱歷,之後才做出堅定承諾。

隨著伴侶潛在人選增加,數學解答就會愈來愈嚴謹,最後比率就會極為明確。如果有N位伴侶人選,你就應該先約見N除以「e」人,隨後才做出承諾。前述「e」值約等於2.718,這也指數增長現象的核心數值。如果N為大數,那麼根據上述,

你就應該在所有潛在伴侶之中,先約見大概百分之三十七的人選,隨後才安頓下來。

這種巧妙做法有許多瑕疵,當然了,其中之一就是你完全無法預知,將來你會和幾位伴侶人選約會。儘管如此,如果你估計自己這輩子,或許能夠見到四十位配偶人選,那麼當你認識其中十四位時,就該考慮安頓下來了

●本文摘自《一條線有多長?:生活中意想不到的116個數學謎題》


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